CS229 笔记 07
Optimal Margin Classifier
回顾 SVM
$$ \begin{eqnarray*} h_{w,b}&=&g(w^{\rm T}x+b)\\[1em] g(z)&=&\begin{cases}1&z\geq0\\[1em]-1&z<0\end{cases}\\[1em] y&\in&\{-1,1\}\\[1em] \hat\gamma^{(i)}&=&y^{(i)}\left(w^{\rm T}x+b\right)\tag{Functional Margin}\\[1em] \gamma^{(i)}&=&y^{(i)}\left(\frac{w^{\rm T}}{||w||}x+\frac{b}{||w||}\right)\tag{Geometric Margin}\\[1em] \hat\gamma&=&\min_i \hat\gamma^{(i)}\\[1em] \gamma&=&\min_i \gamma^{(i)}\\[1em] \end{eqnarray*} $$Optimal Margin Classifier（最大间隔分类器）
由于函数间隔 $\hat\gamma$ 是可以通过改变 $w$ 和 $b$ 来任意缩放的，所以这里说的「最大间隔」 指的是几何间隔 $\gamma$ ，而几何间隔所需要满足的条件是，对于任意的样本 $(x^{(i)},y^{(i)})$ ，都有 $\gamma^{(i)}\geq\gamma$ ，即：
$$ \max \gamma\\ {\text{s.t.}}y^{(i)}\left(\frac{w^{\rm T}}{||w||}x+\frac{b}{||w||}\right)\geq\gamma $$这就是最大间隔分类器最原始的想法，在满足所有样本到超平面的距离都大于 $\gamma$ 的前提下，最大化这个 $\gamma$ 。但是这就有一个问题，当找到这么一组 $(w,b)$ 满足上面的最优化条件后， $(2w,2b)$ 也将满足上面的最优化条件（因为 $(w,b)$ 和 $(2w,2b)$ 其实就是同一个超平面），所以需要限定一下缩放的原则，比如规定 $||w||=1$ ，或者 $w_1=1$ 等等，这个原则可以有多种方式选定。假设约定 $||w||=1$ ，那么上面的优化问题就转变成以下的形式：
$$ \max \gamma\\ {\text{s.t.}}y^{(i)}\left(w^{\rm T}x^{(i)}+b\right)\geq\gamma {\text{ and }} ||w||=1 $$然而这并不是一个很好的优化问题，因为这个 $||w||=1$ 是一个很糟糕的非凸性约束（ $w$ 将在一个球面上取值，而球面集并不是一个凸集），所以还需要把优化问题再换一种表达方式。既然在约束条件里面很难给 $W$ 作一个约束（因为很难找到一个约束条件既能防止 $w$ 任意缩放，又能保证 $w$ 的取值集合是一个凸集），那么可以尝试把 $w$ 放到目标优化函数里面：
$$ \max \gamma=\max \frac{\hat\gamma}{||w||}\\ {\text{s.t.}}y^{(i)}\left(w^{\rm T}x^{(i)}+b\right)\geq\hat\gamma $$但是这时候目标函数 $\hat\gamma/||w||$ 又不是一个凸函数了。注意到 $\hat\gamma$ 是可以任意缩放的，那么可以令 $\hat\gamma=1$ ，得到：
$$ \max \frac{1}{||w||}\\ {\text{s.t.}}y^{(i)}\left(w^{\rm T}x^{(i)}+b\right)\geq1 $$把最大化目标函数转为最小化其倒数，并平方：
$$ \min ||w||^2\\ {\text{s.t.}}y^{(i)}\left(w^{\rm T}x^{(i)}+b\right)\geq1 $$这就是最大间隔分类器的最终形式，其目标优化函数是一个凸函数，约束集是一个凸集。
Lagrange Multiplier
Lagrange Multiplier（拉格朗日常数法）的一般形式
要解决的问题为：
$$ \min f(w)\\ {\text{s.t.}}h_i(w)=0,\,(i=1,2,\cdots,l) $$要求解以上问题，首先要创建一个拉格朗日算子：
$$ {\mathcal L}(w,\beta)=f(w)+\sum_i\beta_ih_i(w) $$其中的 $\beta_i$ 被称为 Lagrange Multiplier（拉格朗日乘数）。
然后令它的偏导数为 0，求解方程组即可：
$$ \begin{eqnarray*} \frac{\partial{\mathcal L}(w,\beta)}{\partial w}&=&0\\[1em] \frac{\partial {\mathcal L}(w,\beta)}{\partial\beta}&=&0\\[1em] \end{eqnarray*} $$Lagrange Multiplier（拉格朗日常数法）的扩展形式
要求解的问题为：
$$ \min_w f(w)\\ \begin{eqnarray*} {\text{s.t.}}g_i(w)&\leq&0,\,(i=1,2,\cdots,k)\tag{1}\\ h_i(w)&=&0,\,(i=1,2,\cdots,l)\tag{2}\\ \end{eqnarray*} $$拉格朗日算子为：
$$ {\mathcal L}(w,\alpha,\beta)=f(w)+\sum_{i=1}^k\alpha_ig_i(w)+\sum_{i=1}^l\beta_ih_i(w)\tag{3} $$定义 $\Theta_P(w)$ 为：
$$ \Theta_P(w)\xlongequal{def}\max_{\alpha,\beta,\,{\text{s.t.}}\,\alpha\geq0}{\mathcal L}(w,\alpha,\beta)\tag{4} $$现在考虑另一个优化问题：
$$ p^*=\min_w\max_{\alpha,\beta,\,{\text{s.t.}}\,\alpha\geq0}{\mathcal L}(w,\alpha,\beta)=\min_w\Theta_P(w) $$若 $g_i(w)>0$ ，不满足条件 $(1)$ ，那么根据等式 $(3)$ 和 $(4)$ ， $\Theta_P(w)$ 将是一个无穷大值。若 $h_i(w)\neq0$ ，不满足条件 $(2)$ ，同理 $\Theta_P(w)$ 也将是一个无穷大值。
若同时满足条件 $(1)$ 和条件 $(2)$ ，那么显然：
$$ \Theta_P(w)=f(w) $$所以原来的优化问题也转变成新的优化问题：
$$ \min_w f(w)=\min_w \Theta_P(w)=p^* $$
Dual Problem
Dual Problem（对偶问题）
定义：
$$ \Theta_D(\alpha, \beta)=\min_w{\mathcal L}(w,\alpha,\beta)\\ d^*=\max_{\alpha,\beta,\,{\text{s.t.}}\,\alpha\geq0}\min_w{\mathcal L}(w,\alpha,\beta)=\max_{\alpha,\beta,\,{\text{s.t.}}\,\alpha\geq0}\Theta_D(\alpha,\beta) $$则 $ d^* $ 就是 $ p^* $ 的对偶问题，其实就是交换了 $ \min $ 和 $ \max $ 的位置。在通常情况下， $ d^*\leq p^* $ ，而这两个优化问题会有相同的解。以上问题的完整表述
令 $ f $ 是凸函数，假设 $ h_i(w) $ 是仿射函数，即 $ h_i(w)=\alpha_i^{\rm T}w+b_i $ 。再假设：
$$ \exists w, {\text { s.t.}} \forall_i\, g_i(w)<0 $$那么，将存在 $ w^* $ ， $ \alpha^* $ ， $ \beta^* $ ，使得 $ w^* $ 是原始问题 $ p^* $ 的解， $ \alpha^* $ 和 $ \beta^* $ 是对偶问题 $ d^* $ 的解，并且 $ p^*=d^*={\mathcal L}(w^*,\alpha^*,\beta^*) $ ，且：
$$ \begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial w}{\mathcal L}(w^*,\alpha^*,\beta^*)&=&0\\[1em] \frac{\partial}{\partial \beta}{\mathcal L}(w^*,\alpha^*,\beta^*)&=&0\\[1em] \alpha_i^*g_i(w^*)&=&0\\[1em] g_i(w*)&\leq&0\\[1em] \alpha_i^*&\geq&0\\[1em] \end{eqnarray*} $$
重新回到最大间隔分类器
准备工作
回顾一下最大间隔分类器要优化的目标：
$$ \min \frac{1}{2}||w||^2\\ {\text {s.t.}}y^{(i)}\left(w^{\rm T}x^{(i)}+b\right)\geq1 $$令 $ g(w,b)=1-y^{(i)}\left(w^{\rm T}x^{(i)}+b\right)\leq0 $ 。
拉格朗日算子为（由于只有不等式约束，没有等式约束，所以只有参数 $ \alpha $ ，没有参数 $ \beta $ ：
$$ {\mathcal L}(w,b,\alpha)=\frac{1}{2}||w||^2-\sum_{i=1}^m\alpha_i\left[y^{(i)}\left(w^{\rm T}x^{(i)}+b\right)-1\right] $$其对偶问题为：
$$ \Theta_D(\alpha)=\max_{w,b}{\mathcal L}(w,b,\alpha) $$要想最小化目标函数，只要用目标函数对 $w$ 求偏导，令偏导等于 0，解方程即可：
$$ \begin{eqnarray*} &&\frac{\partial}{\partial w}{\mathcal L}(w,b,\alpha)\\[1em] &=&\frac{\partial}{\partial w}\left\{\frac{1}{2}||w||^2-\sum_{i=1}^m\alpha_i\left[y^{(i)}\left(w^{\rm T}x^{(i)}+b\right)-1\right]\right\}\\[1em] &=&w-\sum_{i=1}^m\alpha_iy^{(i)}x^{(i)}\xlongequal{set}0\\[1em] \therefore\,w&=&\sum_{i=1}^m\alpha_iy^{(i)}x^{(i)} \\[1em] \end{eqnarray*}\\[1em] $$用目标函数对 $b$ 求导，得到：
$$ \begin{eqnarray*} &&\frac{\partial}{\partial b}{\mathcal L}({w,b,\alpha})\\[1em] &=&\frac{\partial}{\partial b}\left\{\frac{1}{2}||w||^2-\sum_{i=1}^m\alpha_i\left[y^{(i)}\left(w^{\rm T}x^{(i)}+b\right)-1\right]\right\}\\[1em] &=&-\sum_{i=1}^m\alpha_iy^{(i)}\xlongequal{set}0\\[1em] &\therefore&\,\sum_{i=1}^m\alpha_iy^{(i)}=0 \tag{5} \\[1em] \end{eqnarray*} $$这是一个约束条件，现在暂时还无法解出 $b$ 。
将上面的结果代入 ${\mathcal L}(w,b,\alpha)$ ：
$$ \begin{eqnarray*} &&{\mathcal L}(w,b,\alpha)\\[1em] &=&\frac{1}{2}||w||^2-\sum_{i=1}^m\alpha_i\left[y^{(i)}\left(w^{\rm T}x^{(i)}+b\right)-1\right]\\[1em] &=&\frac{1}{2}w^{\rm T}w-\sum_{i=1}^m\alpha_i\left[y^{(i)}\left(w^{\rm T}x^{(i)}+b\right)-1\right]\\[1em] &=&\frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^m\alpha_iy^{(i)}x^{(i)}\right)^{\rm T}\left(\sum_{i=1}^m\alpha_iy^{(i)}x^{(i)}\right)\\[1em] &&-\sum_{i=1}^m\alpha_i\left[y^{(i)}\left(\left(\sum_{i=1}^m\alpha_iy^{(i)}x^{(i)}\right)^{\rm T}x^{(i)}+b\right)-1\right]\\[1em] &=&\frac{1}{2}\left(\sum_{i,j}^m\alpha_i\alpha_jy^{(i)}y^{(j)}\left\langle x^{(i)},x^{(j)}\right\rangle\right)\\[1em] &&-\sum_{i=1}^m\alpha_iy^{(i)}\left(\sum_{i=1}^m\alpha_iy^{(i)}x^{(i)}\right)^{\rm T}x^{(i)}-\sum_{i=1}^m\alpha_iy^{(i)}b+\sum_{i=1}^m\alpha_i\\[1em] &=&\frac{1}{2}\left(\sum_{i,j}^m\alpha_i\alpha_jy^{(i)}y^{(j)}\left\langle x^{(i)},x^{(j)}\right\rangle\right)-\sum_{i,j}^m\alpha_i\alpha_jy^{(i)}y^{(j)}\left\langle x^{(i)},x^{(j)}\right\rangle\\[1em] &&-\sum_{i=1}^m\alpha_iy^{(i)}b+\sum_{i=1}^m\alpha_i\tag{Eq.5}\\[1em] &=&\sum_{i=1}^m\alpha_i-\frac{1}{2}\left(\sum_{i,j}^m\alpha_i\alpha_jy^{(i)}y^{(j)}\left\langle x^{(i)},x^{(j)}\right\rangle\right)\\[1em] &\xlongequal{def}&W(\alpha)\\[1em] \end{eqnarray*} $$所以对偶问题为：
$$ \begin{eqnarray*} \Theta_D(\alpha)&=&\max_{w,b}{\mathcal L}(w,b,\alpha)\\[1em] &=&\max_{w,b}\left\{\sum_{i=1}^m\alpha_i-\frac{1}{2}\left(\sum_{i,j}^m\alpha_i\alpha_jy^{(i)}y^{(j)}\left\langle x^{(i)},x^{(j)}\right\rangle\right)\right\}\\[1em] &=&\max_{w,b}W(\alpha)\\[1em] {\text{s.t.}}&&\alpha_i\geq0\\[1em] &&\sum_{i=1}^m\alpha_iy^{(i)}=0\\[1em] \end{eqnarray*} $$解决 SVM 最大间隔分类器问题的步骤
首先解决对偶问题，求出 $\alpha^*$
然后代入 $w=\sum_{i=1}^m\alpha_iy^{(i)}x^{(i)}$ 求出 $w$
最后由于 $b$ 代表着超平面的截距，所以只需将 $b$ 设置在最大间隔的中间即可。
模型训练之后的预测过程：
对于一个新样本 $x$ ，预测函数 $h_{w,b}(x)$ 为：
$$ \begin{eqnarray*} h_{w,b}(x)&=&g(w^{\rm T}x+b)\\ &=&g\left(\sum_{i=1}^m\alpha_iy^{(i)}\left\langle x^{(i)},x \right\rangle+b\right) \end{eqnarray*} $$